ریاضی کشف شد یا اختراع؟
ما دیجیتال: فرض کنید فردا بامداد از خواب بیدار شویم و بفهمیم تمام انسان های روی زمین، به گونه ای عجیب، مفهوم عدد را فراموش کرده اند. آیا با فراموش کردن ما، ریاضیات نیز از جهان حذف شده است؟
به گزارش ما دیجیتال به نقل از خبر آنلاین، به نقل از دیجیاتو، وقتی می پرسیم ریاضیات اختراع شده یا کشف، منظورمان این نیست که چه کسی علامت + را ساخته یا چه کسی برای اولین بار از نماد صفر بهره برده است. می دانیم که خیلی از نمادها و قراردادهای ریاضی ساخته انسان هستند. ما می توانستیم عدد سه را بجای ۳ با هر نشانه ی دیگری نمایش دهیم. حتی دستگاه عددنویسی ده دهی ما احیانا تا حد زیادی به این حقیقت مربوط است که انسان ده انگشت دارد. معما را باید جای دیگر جستجو کرد. آیا چیزهایی که این نمادها به آنها اشاره می کنند نیز ساخته ما هستند؟
π مثال خوبی است. ما این نماد را انتخاب نموده ایم، اما چیزی که π به آن اشاره می کند انتخاب ما نیست. با تقسیم کردن محیط هر دایره بر قطر آن، فارغ از اندازه دایره، همیشه به یک نسبت ثابت می رسیم. انسان ها قرن ها و حتی هزاران سال قبل از رایج شدن نماد π، این نسبت را می شناختند و برای محاسبه دقیق تر آن تلاش می کردند. امروز می دانیم که این عدد گنگ است، یعنی اعشارش بدون وارد شدن به الگویی تکراری، ادامه پیدا می کند.
می توانیم اسم π و نمادش را عوض نماییم یا حتی هیچ اسمی برایش نداشته باشیم. اما آیا می توانیم نسبت محیط دایره به قطرش را تغییر دهیم؟ و دقیقاً از همین جا اختلاف اصلی آغاز می شود. ریاضیات را ساخته ایم یا کشف کرده ایم؟
یکی از قدیمی ترین پاسخ ها به این پرسش اینست که ما ریاضیات را نمی سازیم، بلکه آنرا کشف می نماییم. این دیدگاه به طور معمول با نام واقع گرایی ریاضی شناخته می شود و مشهورترین صورت آن، افلاطون گرایی ریاضی است.
ایده اصلی در نگاه اول عجیب، اما ساده است. اعداد و اشکال ریاضی ساخته ذهن ما نیستند، بلکه مستقل از ما وجود دارند، البته نه به همان شکلی که یک میز، درخت یا سیاره وجود دارد. به عدد هفت فکر کنید. می توانید هفت سیب، هفت ستاره یا هفت نفر را ببینید، اما هیچ گاه نمی توانید خود هفت را نشان دهید یا روی میز بگذارید. بااین حال، گزاره «۷ میان ۶ و ۸ قرار دارد» چیزی شبیه یک قرارداد یا سلیقه انسانی به نظر نمی رسد. نمی توانیم تصمیم بگیریم از فردا ۷ دیگر میان ۶ و ۸ نباشد.
در دیدگاه افلاطون گرا، اشیای ریاضی مادی نیستند، اما این به معنای خیالی بودنشان نیست. آنها حقیقت هایی مستقل هستند که ذهن انسان می تواند آنها را کشف کند. دید افلاطون گرا دقیقاً از همین جا نتیجه می گیرد که عدد هفت چیزی بالاتر از یک نشانه یا ساخته ذهن ماست. ما ۷ را بعنوان نماد انتخاب نموده ایم، اما حقیقت ریاضی را که این نماد به آن اشاره می کند، نساخته ایم فقط آنرا شناخته ایم.
البته همه فیلسوفان چنین برداشتی ندارند. در مقابل افلاطون گرایی، دیدگاه هایی مانند نام گرایی و داستان انگاری ریاضی قرار می گیرند. نام گرایی می کوشد ریاضیات را بدون فرض وجود موجودات انتزاعی توضیح دهد و آنرا به اشیای حقیقی و روابط میان آنها پیوند بزند. داستان انگاری از این هم جلوتر می رود و می گوید شاید ریاضیات چیزی شبیه یک داستان بسیار منسجم و فوق العاده کارآمد باشد. زبانی که میتوان با آن جهان را توصیف کرد، بی آنکه لازم باشد اعداد و دیگر اشیای ریاضی واقعا جایی وجود داشته باشند.
اما افلاطون گرایی یک مشکل جدی دارد. اگر اعداد بیرون از جهان مادی قرار دارند، ما چطور آنها را می شناسیم؟ پاسخ قطعی برای این پرسش وجود ندارد. بااین حال، شگفتی ماجرا اینجاست که جهان فیزیکی بارها نشان داده است به طرزی عمیق از ساختارهای ریاضی پیروی می کند.
در سال ۱۹۶۰، فیزیکدان آمریکایی «یوجین ویگنر» (Eugene Wigner) پرسشی بیان کرد که بعدها به یکی از مشهورترین معماهای فلسفه علم تبدیل شد: اثربخشی نامعقول ریاضیات در علوم طبیعی. چیزی که ویگنر را شگفت زده می کرد، کاربرد ریاضیات در فیزیک نبود، این بود که چرا ریاضیات تا این حد خوب با جهان حقیقی جور درمی آید.
ادوارد ویتن (Edward Witten)، فیزیکدان نظری، این هماهنگی میان ریاضیات و جهان فیزیکی را حتی وهم آور می داند. عجیب اینجاست که برخی از ساختارهای ریاضی، سال ها قبل از آن که کاربردی در فیزیک پیدا کنند، فقط از روی کنجکاوی بررسی شده اند. اما بعدها معلوم شد دقیقاً همان چیزی هستند که برای توصیف طبیعت لازم بوده است.
تصور کنید ریاضیدانی فقط برای کنجکاوی روی ساختاری کاملا انتزاعی کار کند؛ ساختاری که در زمان خودش هیچ کاربردی ندارد. چند دهه یا چند قرن بعد، فیزیکدانی کشف کند که همان ساختار دقیقاً زبانی است که برای توصیف بخشی از طبیعت به آن نیاز دارد. این اتفاق در تاریخ علم بارها تکرار شده است.
همین نکته برای «راجر پنروز» (Roger Penrose) اهمیت زیادی دارد. از نظر او، موفقیت عجیب ریاضیات در توصیف طبیعت می تواند نشانه ای باشد از این که حقایق ریاضی فقط ساخته ذهن ما نیستند. گاهی یک نظریه فیزیکی، فراتر از دانسته های زمان خودش، پدیده هایی را پیشبینی می کند که سال ها بعد واقعا مشاهده می شوند.
از این دید، انگار ریاضیات چیزی نیست که ما به زور روی طبیعت سوار کرده باشیم، بلکه خود جهان از ابتدا با نوعی نظم ریاضی ساخته شده است. پس سؤال باردیگر برمی گردد: اگر ریاضیات فقط ساخته ذهن ماست، چرا این قدر خوب با جهان حقیقی جور درمی آید؟
داستان عددی که نباید وجود می داشت برای دیدن عمق این معما، شاید هیچ مثالی به اندازه اعداد موهومی جذاب نباشد. چند قرن پیش، ریاضیدانان اروپایی درگیر حل معادلات درجه سوم بودند؛ مساله ای که امروز ممکنست شبیه یک تمرین جبری معمولی به نظر برسد، اما آن زمان یکی از دشوارترین مسایل ریاضیات بود. در جریان این تلاش ها، پای چیز عجیبی به محاسبات باز شد: جذر عدد منفی. در بین اعداد حقیقی، هیچ عددی نیست که مربعش منفی شود. پس جذر عدد منفی چه معنایی می توانست داشته باشد؟
برای مدتی، چنین عددی بی معنا به نظر می رسید. «رنه دکارت» (René Descartes) بعدها آنرا موهومی نامید. بااین حال، ریاضیدانان بجای حذف این ایده، آنرا جدی گرفتند: عددی را تعریف کردند که مربعش برابر با منفی یک باشد و آنرا i نامیدند. درادامه، این ایده به یکی از غنی ترین بخش های ریاضیات، یعنی اعداد مختلط، منتهی شد.
اما بخش عجیب ماجرا چند قرن بعد آغاز شد. وقتی فیزیکدانان فیزیک کوانتوم را صورت بندی کردند، i باردیگر ظاهر شد، البته نه بعنوان یک بازی ریاضی، بلکه در قلب نظریه. در معادله شرودینگر، اعداد مختلط نقش اساسی دارند. چیزی که زمانی نشانه یک جواب ناممکن به نظر می رسید، حالا بخشی از زبان یکی از موفق ترین نظریه های فیزیک بود و همین ما را باردیگر به همان سؤال قدیمی می رساند: اگر اعداد موهومی را اختراع کرده ایم، چرا طبیعت این قدر خوب با آنها کار می کند؟ و اگر آنها را کشف کرده ایم، قبل از ما کجا بودند؟
هندسه ای که دو هزار سال کسی جرات باورش را نداشت مثال بعدی عجیب تر است. حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد، اقلیدس در کتاب اصول روشی قدرتمند بنا کرد: چند اصل پایه را بپذیر و با منطق، قضیه های پیچیده تر را از آنها نتیجه بگیر. اما اصل پنجم، یعنی اصل خطوط موازی، همیشه مساله ساز بود. ریاضیدانان قرن ها گمان می کردند میتوان آنرا از اصول دیگر اثبات کرد. نسل های زیادی تلاش کردند، اما هیچ کس موفق نشد.
تا این که در قرن نوزدهم، لوباچفسکی و بویویی سؤال متفاوتی پرسیدند: اگر اصل پنجم را اصلاً نپذیریم چه؟ برعکس انتظار، هیچ فاجعه ای رخ نداد و تناقضی به وجود نیامد، فقط هندسه ای تازه متولد شد.
در هندسه اقلیدسی، از نقطه ای بیرون یک خط فقط یک خط موازی می گذرد. اما میتوان هندسه های کاملا سازگاری ساخت که در آنها چند خط موازی وجود دارند یا اصلاً خط موازی وجود ندارد. انگار بعد از دو هزار سال، ناگهان دیواری کنار رفته باشد و جهان های دیگری آشکار شوند.
این کشف به سود ایده اختراع ریاضیات بود: اگر با تغییر اصول اولیه میتوان جهان های ریاضی متفاوتی ساخت، شاید ریاضی چیزی شبیه یک بازی باشد: ما قواعد را انتخاب و بعد پیامدهایشان را کشف می نماییم.
اما داستان به اینجا ختم نشد. «برنهارد ریمان» (Bernhard Riemann) هندسه فضاهای خمیده را گسترش داد؛ شاخه ای از ریاضیات که در زمان خودش کاملا انتزاعی به نظر می رسید. چند دهه بعد، آلبرت اینشتین در نظریه نسبیت عام نشان داد که همین هندسه می تواند گرانش را توصیف کند.
ناگهان ریاضیاتی که زمانی بیشتر شبیه یک بازی ذهنی بود، به زبان توصیف گرانش و کیهان تبدیل شد و همان پرسش باردیگر مطرح شد: آیا ما هندسه ریمانی را اختراع کردیم و طبیعت تصادفاً با آن سازگار از آب درآمد یا ریمان چیزی را کشف کرده بود که جهان میلیاردها سال قبل از ما از آن پیروی می کرد؟
پس شاید ریاضیات فقط مجموعه ای از قواعد باشد تا اینجا شاید کفه کشف ریاضیات سنگین تر به نظر برسد، اما ماجرا هنوز تمام نشده است. طرف مقابل استدلال مهمی دارد: بخش بزرگی از ریاضیات با انتخاب تعاریف و اصول اولیه شروع می شود. ما مجموعه ای از قواعد را تعیین می نماییم و سپس در مورد نتایج آنها سؤال می پرسیم. اگر این اصول تغییر کنند، ممکنست به جهانی کاملا متفاوت از ریاضیات برسیم.
از این نگاه، ریاضیات کمی شبیه شطرنج است. قواعد شطرنج را ما ساخته ایم، اما بعد از مشخص شدن قواعد، دیگر نتایج دست ما نیستند. مثلا در یک موقعیت مشخص، سفید یا می تواند در سه حرکت حریف را مات کند یا نه؛ این جواب را قواعد بازی تعیین می کنند، نه نظر ما. این نگاه به دیدگاهی به نام صورت گرایی نزدیک است. یعنی شاید ما قواعد و چارچوب ریاضی را بسازیم، اما چیزهایی را که از دل آن بیرون می آیند، کشف نماییم.
طبیعت ریاضی دارد یا ما طبیعت را ریاضی می بینیم؟ یک دلیل دیگر هم برای احتیاط وجود دارد: مغز انسان عاشق پیدا کردن الگوهاست. وقتی مارپیچ یک صدف، چیدمان دانه های آفتابگردان یا شکل شاخه های یک گیاه را می بینیم، خیلی راحت به این نتیجه می رسیم که طبیعت انگار از روی یک فرمول ریاضی ساخته شده است.
یکی از معروف ترین مثال ها دنباله فیبوناچی است: ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و.... در این دنباله، هر عدد از جمع دو عدد قبلی به دست می آید. الگوهای در رابطه با فیبوناچی و نسبت طلایی واقعا در بعضی فرایندهای رشد گیاهان، مثل آرایش برگ ها یا دانه ها، دیده می شوند.
اما باید کمی محتاط بود. بسیاری از چیزهایی که به فیبوناچی یا نسبت طلایی ربط داده می شوند، اغراق شده هستند. نکته مهم تر اینست که بعضی الگوهای ریاضی، به خاطر محدودیت های رشد، فضا و بهینه سازی، بارها در طبیعت تکرار می شوند. اینجا باردیگر همان سؤال مطرح می شود: آیا طبیعت واقعا ساختاری ریاضی دارد یا این ما هستیم که ریاضیات را برای توصیف الگوهایش ساخته ایم؟ شاید جهان ذاتاً ریاضی نباشد و ما فقط با یک عینک ریاضی به آن نگاه نماییم. اما اگر چنین است، چرا این عینک تا این حد دقیق کار می کند؟
یک آزمایش ذهنی ساده انجام دهید. فرض کنید همین امروز مفهوم عدد اول را تعریف کرده ایم: عددی طبیعی بزرگ تر از یک که فقط بر یک و خودش بخش پذیر است. تا اینجا، همه چیز شبیه یک اختراع انسانی به نظر می آید.
ولی حال یک سؤال مطرح می شود: تعداد اعداد اول محدود است یا بی نهایت؟ اینجا دیگر جواب دست ما نیست. نمی توانیم تصمیم بگیریم که از جایی به بعد اعداد اول تمام شوند. اقلیدس بالاتر از دو هزار سال پیش ثابت کرد که تعداد آنها بی نهایت است. یعنی وقتی یک مفهوم را تعریف می نماییم، بعضی نتایج دیگر به انتخاب ما بستگی ندارند و ناگزیر از دل همان تعریف به دست می آیند.
شاید برای همین است که خیلی از ریاضیدانان درباره ی کارشان با زبان کشف حرف می زنند. آنها ممکنست سال ها روی یک مساله کار کنند، بارها مسیرهای اشتباهی بروند و درنهایت به نتیجه ای برسند که اصلاً انتظارش را نداشتند.
گودل آمد و همه چیز را پیچیده تر کرد اوایل قرن بیستم، بعضی ریاضیدانان رویای بزرگی داشتند: ساختن پایه ای آن قدر محکم برای ریاضیات که بتوان با مجموعه ای دقیق از اصول، هر گزاره را اثبات یا رد کرد. «دیوید هیلبرت» (David Hilbert) یکی از چهره های اصلی این تلاش بود. اما در سال ۱۹۳۱، «کورت گودل» (Kurt Gödel) نشان داد این رویا محدودیتی اساسی دارد. به زبان ساده، گودل نشان داد که در بعضی نظام های ریاضی، حقایقی وجود دارند که درست هستند، اما با قواعد همان نظام نمی توان آنها را ثابت کرد.
البته قضیه گودل ثابت نمی کند که ریاضیات حتما کشف می شود یا افلاطون گرایی درست است. اما نشان داده است تصویر ریاضیات بعنوان ماشینی که فقط طبق چند قانون نمادها را جابه جا می کند، بیش از اندازه ساده است.
جالب تر این که همین پرسش های انتزاعی بعدها به نظریه محاسبه رسیدند. «آلن تورینگ» (Alan Turing) در بررسی مساله تصمیم پذیری، مفهوم ماشین تورینگ را مطرح نمود، ایده ای که بعدها به یکی از پایه های نظری علوم کامپیوتر تبدیل شد. باز همان الگو تکرار شد: مساله ای بسیار انتزاعی درباره ی بنیان ریاضیات، درنهایت به ایده هایی رسید که پشت کامپیوترهای امروزی قرار دارند.
چرا جهان های انتزاعیِ ریاضی این قدر خوب به جهان حقیقی وصل می شوند؟ هندسه نااقلیدسی می توانست فقط موضوعی در ریاضیات محض بماند. اعداد مختلط هم می توانستند صرفا ابزاری برای حل معادلات باشند. اما بارها دیده ایم که چنین ایده هایی بعدها وارد فیزیک، مهندسی و علوم دیگر شده اند.
این همان معمایی است که ویگنر روی آن تاکید داشت: چرا ریاضیات تا این حد در توصیف طبیعت موفق است؟ شاید چون خود جهان ساختاری ریاضی دارد. شاید هم هر جهانی که در آن الگو، کمیت و رابطه وجود داشته باشد، ناگزیر تا حدی با ریاضیات قابل توصیف است.
البته ممکنست ما بیشتر آن بخشهایی از ریاضیات را به یاد بیاوریم که کاربرد پیدا کرده اند و شاخه های بی کاربرد را کمتر ببینیم. بااین حال، موفقیت بعضی نظریه های ریاضی در توضیح جهان هنوز هم چیزی اعجاب آور است.
آزمایش نهایی: اگر فردا موجودات فضایی پیام بفرستند چه؟ حالا بیایید آزمایش فکری اعداد اول را یک قدم جلوتر ببریم. فرض کنید رادیوتلسکوپ ها پیامی از یک تمدن فرازمینی دریافت نمایند. آن موجودات احیانا فارسی، انگلیسی یا چینی نمی دانند؛ شاید حتی شیوه ارتباط و حواسشان کاملا با ما متفاوت باشد. در چنین شرایطی، چگونه می توانیم نشان دهیم که پیام ما از جانب یک تمدن هوشمند فرستاده شده است؟
یکی از نخستین گزینه ها احیانا استفاده از الگوهای ریاضی است؛ مثلا دنباله اعداد اول: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷.... دلیلش ساده است: ما تصور می نماییم این الگو نه ایرانی است، نه زمینی و نه حتی انسانی. اگر تمدنی دیگر هم به مفهوم شمارش و عدد رسیده باشد، شاید عاقبت متوجه همان خصوصیت شود: بعضی عددها فقط بر یک و خودشان بخش پذیرند.
البته هیچ تضمینی وجود ندارد. ممکنست شیوه نمایش اعداد، دستگاه شمارش یا حتی مسیر ایجاد ریاضیات در یک تمدن بیگانه کاملا متفاوت باشد. پس صحبت درباره ی ریاضیات موجودات فضایی درنهایت یک آزمایش فکری است، نه یک مشاهده علمی.
اما همین آزمایش سؤال اصلی را روشن تر می کند: اگر دو تمدن که هیچ ارتباطی با هم نداشته اند، مستقل از یکدیگر به یک حقیقت درباره ی اعداد اول برسند، آیا نمی شود گفت آن حقیقت را کشف کرده اند؟ از جانب دیگر، شاید هر دو فقط بدین سبب به ریاضیات مشابهی رسیده باشند که با جهانی مشابه مواجه بوده اند و برای حل مسایل مشابه، ابزارهای مشابهی ساخته اند. بنابراین، حتی این آزمایش فکری هم پاسخ نهائی را به ما نمی دهد.
پس بالاخره ریاضیات اختراع است یا کشف؟ شاید مشکل از خود سؤال باشد؛ چون ریاضیات انگار همزمان نشانه هایی از هر دو را دارد. ما نمادها، تعاریف و اصول اولیه را می سازیم، اما از جایی به بعد اختیار از دستمان خارج می شود. می توانیم مفهوم عدد اول را تعریف نماییم، اما نمی توانیم تصمیم بگیریم تعداد اعداد اول محدود باشد. می توانیم عدد (i) را وارد ریاضیات نماییم، اما روابطی که پس از آن شکل می گیرند دیگر تابع سلیقه ما نیستند. انگار ما در را می سازیم، اما آن چه پشت در پیدا می نماییم لزوماً ساخته ما نیست.
ماجرا وقتی عجیب تر می شود که همین ساختارهای انتزاعی، گاهی سال ها یا قرن ها بعد در طبیعت ظاهر می شوند. اعداد مختلط به قلب فیزیک کوانتوم راه پیدا می کنند و هندسه های خمیده به زبان توصیف گرانش تبدیل می شوند. چیزهایی که زمانی فقط بازیهای ذهنی بودند، ناگهان برای فهم جهان ضروری می شوند.
حالا جهانی را تصور کنید که هیچ انسانی در آن وجود ندارد؛ نه کتابی، نه عددی روی کاغذ و نه ذهنی که نام π یا عدد اول را بداند. بااین حال سیاره ها می چرخند، ستاره ها شکل می گیرند و الگوهای طبیعت همچنان برقرارند.
آیا در آن جهان، حقایق ریاضی هنوز وجود دارند؟ اگر پاسخ بله باشد، شاید ریاضیات مدت ها قبل از پیدایش ما در جهان وجود داشته است و ما فقط آنرا کشف کرده ایم. اگر پاسخ نه باشد، ماجرا حتی شگفت انگیزتر می شود: ذهن انسان زبانی ساخته که می تواند جهانی را توضیح دهد که میلیاردها سال قبل از خود او وجود داشته است.
اما یک چیز از هر دو عجیب تر است: چرا جهان اصلاً به زبانی پاسخ می دهد که ما آنرا ریاضیات می نامیم؟
حرف آخر اینکه می توانید هفت سیب، هفت ستاره یا هفت نفر را ببینید، اما هیچگاه نمی توانید خود هفت را نشان دهید یا روی میز بگذارید. اما باید کمی محتاط بود. دلیلش ساده است: ما تصور می نماییم این الگو نه ایرانی است، نه زمینی و نه حتی انسانی.
منبع: madigital.ir
این مطلب را می پسندید؟
(1)
(0)
تازه ترین مطالب مرتبط
نظرات بینندگان در مورد این مطلب